Может ли клиент официально обмениваться информацией,  переписываться по @ почте с адвокатом?

Да. Может, если в договор (соглашение) внесены соответствующие реквизиты, адреса электронной @ почты адвоката и подзащитного.
Современные технологии обмена информацией (интернет) вполне законно и быстро позволяют  закрепить необходимые доказательства.  в том числе переписку по электронной почте, переписку по WhatsAp - у, переписку посредством иных мессенджеров с адвокатом.
Более того, при желании переписку по @ почте с адвокатом  можно в последующем дополнительно "закрепить"  у нотариуса